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 Problèmes mathématiques !

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Fulgar
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MessageSujet: Problèmes mathématiques !   Mer 23 Mai - 23:44

Puisqu'il n'y a beaucoup d'activité dans ce coin là, je relance un nouveau sujet sur les problèmes mathématiques.

C'est simple, il suffit de mettre divers problèmes, même les plus simples (même 1+1 = ? mais il faut pas trop en abuser quand même ^^ ) .

Naturellement tout réponse devra comporter la justification, ca évite les tatonnements Razz


On va commencer doucement, alors je propose:

11^(n+2) + 12^(2n+1) est-il divisible par 133 ? (n entier naturel)

edit: comme c'est un peu dur de répondre comme ca je vais plutôt dire qu'il est bien divisible mais je veux la preuve ^^ !!

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HR
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 0:18

Alors,

je vais commencer à chercher,

Si
E(n) = 11^(n+2) + 12^(2n+1)
est divisible par 133
alors
E(n) = 133k si n entier positif

Si n=0
on a : 11²+12 = 133.k
Où k = 1

Si n=1
On a 11^3+12^3=133.k
Où k = 29

Voila, j'ai résolu 2 solutions sur une infinité, et j'ai rien démontré du tout

à vous le reste Big Smile

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Fulgar
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 0:39

Bien essayé HR, tu peux tenter de le faire comme ca, mais si tu commences de cette manière, tu peux faire une démonstration par récurrence. ^^

Sinon il y a une autre méthode très simple, mais je donnerai l'indice que si personne ne trouve ou que la version par récurrence est correctement faite Smile

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HR
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 0:51

Je pensais faire une démonstration par induction, mais je vais pas tout faire d'un coup. =)

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Fulgar
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 0:53

Pour ceux qui ne le savent pas le raisonnement par récurence c'est:

Soit un propriété P (dans ce cas là: 11^(n+2) + 12^(2n+1) divisible par 133)

P(rang initiale) est vrai (dans ce cas là: n=0 )
P(n) => P(n+1) (dans ce cas là: 11^(n+2) + 12^(2n+1) divisible par 133 => 11^((n+1)+2) + 12^(2(n+1)+1) divisible par 133
soit 11^(n+2) + 12^(2n+1) divisible par 133 => 11^(n+3) + 12^(2n+3) divisible par 133 )

( => veut dire implique ou bien "si .. alors ..." )

on a alors démontrer que la propriété est vraie pour tout n

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The fradou
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 1:55

A moins que je n'ai fait une erreur bête, la récurrence se fait assez simplement.
Pour n=0 HR l'a fait.

On suppose P(n) vrai, on veut montrer que P(n+1) l'est aussi.

On pose k0 tel que 11^(n+2) + 12^(2n+1)=133*k0

Pour n+1 on a :
11^(n+3) + 12^(2(n+1)+1)
=(11^(n+2)*11 + (12^(2n+1))*12²
=(11^(n+1)+12^(2n+1))*11 + (12^(2n+1))*(12²-11)

D'après P(n), on a 11^(n+1)+12^(2n+1)=133*k0

On simplifie donc l'expression en :
=(133*k0)*11 + (12^(2n+1))(12²-11)

Or 12²-11=133

D'où
=133*(k0*11+12^(2n+1)))
On voit donc bien que l'expression en n+1 est multiple de 133.
Donc P(n+1) vrai

Donc par rec la propriété est vraie.

Normalement j'ai pas fait de faute ^^

Par contre je cherche encore la ptite astuce Smile

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Florinou
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 10:32

Edit : J'ai rien dit je me suis gourer dans mon développement ce que j'avais fait étais faux

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Fulgar
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Jeu 24 Mai - 15:16

The fradou a bien répondu a part une petite faute d'inattention je supppose.

Pour n+1 on a :
11^(n+3) + 12^(2(n+1)+1)
=(11^(n+2))*11 + (12^(2n+1))*12²
=(11^(n+2)+12^(2n+1))*11 + (12^(2n+1))*(12²-11)

D'après P(n), on a 11^(n+2)+12^(2n+1)=133*k0

le reste est bon.


Sinon en fait pour pouvoir le faire très rapidement il faut connaitre les congruences et les modulo:

ex: 36 = 3 modulo (11)
36 est de la forme 11k+3 (36 = 11*3 + 3)

tous les calculs sont modulo(133)

11^(n+2) + 12^(2n+1)
<=> (11^n)*(11^2) + ((12²)^n)*12
<=> (11^n)*(121) + (144^n)*12
<=> (11^n)*(-12) + (11^n)*12
<=> 0

donc 11^(n+2) + 12^(2n+1) = 0 modulo(133)

cad: 11^(n+2) + 12^(2n+1) est de la forme 133 k + 0

Ce qui veut dire que c'est un multiple de 133.

Allez maintenant c'est à quelqu'un d'autre de donner une petite démonstration, un calcul ou autre petites choses mathématiques.

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Gaara92
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 1:02

peut tu m'expliquer comment tu passe de

<=> (11^n)*(121) + (144^n)*12

a

<=> (11^n)*(-12) + (11^n)*12

?????

je suis d'accord que la 2e ligne est egale a 0 mais pour moi la premiere est strictement poisif pour tout n : c'est une combinaison lineaire d'addition et de multiplications de nombres qui sont tous superier a 1. Sa ne fait jamais 0

comment tu passe d'un 121 a -12 et de 144 a 11

je suis largué ^^'
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The fradou
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 1:12

Marf ah oui les modulo je l'ai jamais eu dans mon programme, je connais pas assez bien pour y penser ^^

En effet erreur bête dans ma récurrence Smile

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Amonbofis
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 15:33

Gaara92 a écrit:

je suis d'accord que la 2e ligne est egale a 0 mais pour moi la premiere est strictement poisif pour tout n : c'est une combinaison lineaire d'addition et de multiplications de nombres qui sont tous superier a 1. Sa ne fait jamais 0

comment tu passe d'un 121 a -12 et de 144 a 11

je suis largué ^^'

ça fait un moment, mais selon mes souvenirs, tu ne regarde pas si c'est égal à 0 mais le reste dans le division de cette expression par ton modulo ici 133.
ça vient de la :

121- 133 = - 12

144 - 133 = 11

après demerdez vous Very Happy

ça entretien la retraite Smile

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Fulgar
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 17:30

Ouai amonbofis a raison.

tous les calculs que j'ai fais sont modulo(133).
exemple de calcul sur les modulo:
152 = 152 modulo(13)
---- 152 = 13*0 + 152
mais aussi 152 = 139 modulo(13)
152-13=139

---- 152 = 13*1 + 139
mais aussi 152 = 126 modulo(13)
152-2*13=126

---- 152 = 13*2 + 126
ou encore 152 = 165 modulo(13)
152+13=165

---- 152 = 13*(-1) + 165

vous comprenez la suite...

donc (152 = 13*k + 0) => (152 multiple de 13)
or (152 = 13*k + 0) => (152 = 0 modulo(13) )

Tu comprend mieux maintenant ?

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 17:46

Congruences et modulo, j'ai fait ca l'an passé, et je ne connais deja plus toutes les ficelles du bazard... ca promet ^^

Fulgar, t'es un fou de faire un topic comme ca, on est en exam, merde! lol Je fais deja des maths toute la journée, alors si tu pollues mon lieu de détente ca va pas aller ;o)

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 20:51

Tu peux poser des problèmes pour te faire réviser aussi Razz

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Gaara92
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 20:56

ok, je vous crois, j'ai jamais fait de modulo ou de congruence ^^
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Ven 25 Mai - 21:45

A vous de poser un truc plus simple alors ^^

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Sam 26 Mai - 0:23

je propose que tu poses ton cul Fufu Smile

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Sam 26 Mai - 10:28

Bon allez soyons sympa, une différentielle (et de bas niveau):


y'' + 4*y' + 7/4 = 0


(easy game)

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Sam 26 Mai - 16:08

Cui ? Et on est sensé faire quoi ?

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Sam 26 Mai - 16:24

et ben il s'agit d'une équation différentielle, trouvez moi la fonction y(t)

(je suppose que la convention y' exprimant la dérivée par rapport au temps ne vous à pas embété...)

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Dim 27 Mai - 2:05

euh alors je sais pas comment ca marche mais je dirais

y(t) = (-7/16)*t

ensuite si je suis complètement a côter faudrait expliquer parce que sinon je peux rien faire...

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Dim 27 Mai - 5:08

Hum...

J'aurais tendance à commencer par poser z(t)=y'(t)

On obtient donc l'équation facile
z'+4z+7/4=0

Donc sol générale z(t)=A*exp(4t)+ B

Ensuite on intègre z pour obtenir y
D'où y(t)=(A/4)*exp(4t) + B*t + C

Après on doit pouvoir calculer A,B et C mais à cette heure ci j'ai pas le courage, donc à la limite dis nous déjà si le raisonnement est bon pour donner du courage ^^

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Dim 27 Mai - 10:26

bien tenté Fradou!

Je suppose que vous avez pas du bouffer des kilos d'équations différentielles alros je vais expliquer un peu tout ca afin d'éclairer vos lanternes :)

on part de y''+4*y'+7/4=0

qui est une équation différentielle linéaire non homogène à coéfficients constants:

linéaire ben ca saute aux yeux
non homogène car il y un terme indépendant (7/4)
à coéfficients constants car le 4 et le 7/4 ne dépendent pas du temps.

La théorie prouve (je ne vous ferai pas la démo c'est trop pénible) que la solution générale du problème est la somme de la solution du problème homogène (sans terme indép.) et d'une solution particulière.

Solution homogène:

y"+4*y"=0

on écrit le polynôme caractéristique:

z²+4*z=0 dont les racines sont : z1=0 et z2= -4

l'on sait alors que y(t) = C1*exp(z1*t) + C2*exp(z2*t) où C1 et C2 sont des constantes qui peuvent être déterminées à partir de conditions initiales. Ce qui nous donne donc: Y(t)= C1*exp(0*t) + C2*exp(-4*t) pour la solution du problème homogène


Solution particulière:

Dans ce cas-ci elle saute aux yeux (je m'étonne d'ailleurs que personne ne me l'ai sortie)

Y(t)= (-7/16)*t




Et donc la solution générale du problème est:

Y(t)= C1*exp(0*t) + C2*exp(-4*t) + (-7/8)*t = C1 + C2*exp(-4*t) + (-7/16)*t

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Dernière édition par le Dim 27 Mai - 18:24, édité 3 fois
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Dim 27 Mai - 12:16

Emperor X a écrit:
Y(t)= C1*exp(0*t) + C2*exp(-4*t) + (-7/Cool*t = C1 + C2*exp(-4*t) + (-7/Cool*t


Y a plus de lettres que de chiffres ... t'es sur que c'est des maths ca ? What a Face

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HR a écrit:
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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Dim 27 Mai - 12:57

Tu veux bien m'expliqué ta solution particulière ? Parce que y(t) = ( -7/8 )*t , je trouve que ca fait -1.75 et pas 0 comme résultat.
Tu es sur que y(t) = (-7/16)*t c'est pas bon ?

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MessageSujet: Re: Problèmes mathématiques !   Aujourd'hui à 8:59

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